年龄递推问题

题目

有 5 个人坐在一起，问第五个人多少岁？他说比第 4 个人大 2 岁。问第 4 个人岁数，他说比第 3 个人大 2 岁。问第三个人，又说比第 2 人大两岁。问第 2 个人，说比第一个人大两岁。最后问第一个人，他说是 10 岁。请问第五个人多大？

说明

这是一个典型的线性递推关系问题，也可以用递归思想来建模。

问题建模：

设第 $n$ 个人的年龄为 $A(n)$ ，根据题意：

基准条件： $A(1) = 10$
递推关系： $A(n) = A(n - 1) + 2$ ，其中 $n = 2, 3, 4, 5$

这实际上是一个等差数列：

A(n) = 10 + (n - 1) \times 2 = 2n + 8

验证：

$A(1) = 10$
$A(2) = 12$
$A(3) = 14$
$A(4) = 16$
$A(5) = 18$

因此，第五个人 18 岁。

运行示例

第五个的年龄为18

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规律分析

人数 $n$	年龄 $A(n)$	计算方式
1	10	给定
2	10 + 2 = 12	$A(1)+2$
3	12 + 2 = 14	$A(2)+2$
4	14 + 2 = 16	$A(3)+2$
5	16 + 2 = 18	$A(4)+2$

通项公式： $A(n) = 10 + 2(n - 1) = 2n + 8$

所以 $A(5) = 2 \times 5 + 8 = 18$

程序实现

方法一：迭代（直接求解）

public class Demo23 {
    public static void main(String[] args) {
        int age = 10; // 第一个人的年龄
        for (int i = 0; i < 4; i++) { // 后面4个人，每人+2
            age += 2;
        }
        System.out.println("第五个人" + age + "岁");
    }
}

方法二：递归（体现递推思想）

public class Demo23 {
    // 递归函数：求第 n 个人的年龄
    public static int getAge(int n) {
        if (n == 1) {
            return 10; // 基准条件
        }
        return getAge(n - 1) + 2; // 递归关系
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("第五个人的年龄为" + getAge(5));
    }
}

方法三：数学公式（最优解）

public class Demo23 {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        int age = 10 + (n - 1) * 2;
        System.out.println("第五个人" + age + "岁");
    }
}

补充知识

此题是递归入门经典案例，与“斐波那契数列”“阶乘”并列为三大递归教学范例。
虽然本题用循环或公式更高效，但使用递归有助于理解函数调用栈和问题分解的思想。
在实际开发中，若递归深度较大（如 $n > 10^4$ ），应优先考虑迭代以避免 StackOverflowError。
该模型可推广到任意等差序列的生成，例如：工资每年涨 500 元、树木每年长高 10 厘米等。

总结：本题虽简单，但清晰展示了递归思维与数学建模的结合，是理解算法基础的重要一步。