规律分析

我们采用递推方式计算阶乘，避免重复计算：

• 初始化：fac = 1（表示$1! = 1$）

• 第 1 次循环（i=1）：fac = 1 * 1 = 1 →$1!$

• 第 2 次循环（i=2）：fac = 1 * 2 = 2 →$2!$

• 第 3 次循环（i=3）：fac = 2 * 3 = 6 →$3!$

• ...

• 第 n 次循环：fac = (n-1)! * n = n!

同时，每轮将当前 fac 累加到 sum 中。

这种方式时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$，非常高效。

程序实现

public class Demo21 {
    public static void main(String[] args) {
        long sum = 0;
        long fac = 1;
        for (int i = 1; i <= 20; i++) {
            fac *= i;      // 计算 i!
            sum += fac;    // 累加到总和
        }
        System.out.println(sum);
    }
}

补充知识

• 阶乘是组合数学、概率论、泰勒展开等领域的基础运算。

• 注意：不要在循环内部用递归或重复乘法计算阶乘（如每次从 1 乘到 i），那样会导致时间复杂度升至$O(n^2)$，效率低下。

• 本题体现了“利用前一步结果优化当前计算”的典型动态规划思想（尽管很简单）。

总结：本题虽简单，但涉及大数处理意识、算法效率、数据类型选择等重要编程素养，是初学者理解迭代与累积模式的经典例题。