题目

有一分数序列：

求出这个数列的前 20 项之和。

说明

观察该分数序列，可以发现：

• 分子：2, 3, 5, 8, 13, 21, …

• 分母：1, 2, 3, 5, 8, 13, …

这实际上是斐波那契数列的相邻两项构成的分数：

设斐波那契数列为$F_1 = 1,\ F_2 = 1,\ F_3 = 2,\ F_4 = 3,\ F_5 = 5,\ F_6 = 8,\ \dots$，满足递推关系：$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 3)$

那么第$n$ 项分数为：$\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$

验证：

• 第 1 项：$\frac{F_3}{F_2} = \frac{2}{1}$

• 第 2 项：$\frac{F_4}{F_3} = \frac{3}{2}$

• 第 3 项：$\frac{F_5}{F_4} = \frac{5}{3}$

• ……

因此，该问题本质是：计算前 20 个连续斐波那契相邻项之比的和。

补充知识：这个分数序列的极限是著名的黄金比例$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$。随着项数增加，每一项越来越接近黄金比例。

运行示例

程序运行后输出前 20 项分数及其总和（保留小数）：

2/1
3/2
5/3
8/5
13/8
21/13
34/21
55/34
89/55
144/89
233/144
377/233
610/377
987/610
1597/987
2584/1597
4181/2584
6765/4181
10946/6765
17711/10946
32.660263

最终结果约为 32.660263

public class Demo20 {
    public static void main(String[] args) {
        double fm = 1.0; // 分母（F_n）
        double fz = 2.0; // 分子（F_{n+1}）
        double sum = 0.0;

        for (int i = 0; i < 20; i++) {
            System.out.println((int)fz + "/" + (int)fm);
            sum += fz / fm;

            // 更新下一项：(fz, fm) -> (fz + fm, fz)
            double nextFz = fz + fm;
            fm = fz;
            fz = nextFz;
        }

        System.out.printf("前20项之和为：%.6f\n", sum);
    }
}