题目

一个整数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 又是一个完全平方数，请问该数是多少？

说明

设该整数为$x$，根据题意，存在两个整数$a$ 和$b$，使得：

两式相减得：$b^2 - a^2 = (x + 168) - (x + 100) = 68$

利用平方差公式：$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 68$

于是问题转化为：找出两个正整数$m = b - a$、$n = b + a$，使得$m \cdot n = 68$，且$m < n$，$m$ 与$n$ 同奇偶（因为$b = \frac{m+n}{2}$、$a = \frac{n-m}{2}$ 必须为整数）。

对 68 进行因数分解：$68 = 1 \times 68 = 2 \times 34 = 4 \times 17$

检查各因子对的奇偶性：

• $(1, 68)$：一奇一偶 →$a, b$ 非整数 ❌

• $(2, 34)$：均为偶数 → ✅

• $(4, 17)$：一偶一奇 → ❌

仅$(2, 34)$ 满足条件：

代入得：$x = a^2 - 100 = 16^2 - 100 = 256 - 100 = 156$

验证：

• $156 + 100 = 256 = 16^2$ ✅

• $156 + 168 = 324 = 18^2$ ✅

因此，唯一解为$x = 156$。

运行示例

156加上100后是一个完全平方数，加上168又是一个完全平方数

public class Demo13 {
    public static void main(String[] args) {
        for (int x = -100; x < 100000; x++) { // 从 -100 开始更合理（避免 x+100<0）
            double sqrt1 = Math.sqrt(x + 100);
            double sqrt2 = Math.sqrt(x + 168);
            if (sqrt1 == (int)sqrt1 && sqrt2 == (int)sqrt2) {
                System.out.println(x + "加上100后是一个完全平方数，加上168又是一个完全平方数");
                break; // 已知唯一解，可提前退出
            }
        }
    }
}